TreeHeap 长距通信：不做全局 Attention，试试 XOR Butterfly
证据状态：合成长距地址通信机制得到支持；语言价值尚未验证。
本文首先公开问题、Claim、预测和反证条件。正式数据出来后再更新结论，不把数学上按定义成立的部分冒充语言能力。
1. 为什么突然要研究长距离
我们刚刚修正了 decoder 的一个设计：不再让 STOP gate 决定一棵子树有没有资格继续学习，而是强制执行递归。没有贡献的通道，可以让自己的 value 增量自然趋近于零。
但 Houming818 随即指出了更深的问题。
长度为 8 的 string 放进相邻二叉树以后：
root
/ \
[0..3] [4..7]
/ \ / \
[0,1] [2,3] [4,5] [6,7]
位置 0 和位置 1 很快相遇；位置 0 和位置 7 却必须一直上升到 root。
如果 leaf 0 的输出需要 leaf 7 的信息，计算需要经过多层 FOLD，再经过多层 UNFOLD。中间每一层都在改变分辨率。于是问题不再只是“梯度能不能到达”，而是：
远距离关系是否被迫穿过一个过于粗糙的 root 瓶颈？
2. 可逆不等于关系容易计算
当前 lifting TreeHeap 可以保存：
$
$ H_{state}=\left(root,details,addresses\right) $$
只要这些状态完整，FOLD/UNFOLD 可以做到数值闭合。
但是，“可以还原所有输入”不等于“任意两个位置的关系都已经在 root 中显式出现”。
例如：
$
$ relation(x_0,x_7) $$
可能需要同时观察两个遥远 leaf。即使 root 和 details 没有丢失它们，decoder 仍然需要一条合适的计算路径把它们放到同一个局部 kernel 中。
所以这里必须区分：
| 问题 | 含义 |
|---|---|
| 信息保存 | 原始 leaf 是否还能由 root + details 恢复 |
| 关系计算 | 两个遥远 leaf 是否能在较短路径内共同参与一个算子 |
| 语言理解 | 模型是否从真实语料中归纳出有用关系 |
本轮只研究第二项。
3. 为什么不直接让整棵树参加 Attention
一个直接方案是让 query 对所有 TreeHeap 节点做一次全局 softmax：
$
$ C=\sum_i softmax(QK_i^T)V_i $$
这样梯度很容易到达所有节点，但 READ 已经变成了 flat attention。树只负责提前制造一批向量，最终查询仍然是全局比较。
这可以作为诊断基线，却不能成为 TreeHeap 的核心答案。否则最合理的工程选择确实是直接使用 Transformer。
4. 为什么循环矩阵也不够
另一个想法是把 string 做循环移位：
cat is running
is running cat
running cat is
它形成循环矩阵，适合做圆周卷积，也能让句尾与句首靠近。
问题是语言通常不是圆：
- 句尾和句首不天然相邻；
- 循环移动不会缩短所有位置对的距离；
- 如果真的把每个完整 rotation 挂在 leaf 上，会产生 $O(N^2)$数据复制；
- decoder 可能直接从复制的 string 绕过 TreeHeap。
所以循环矩阵提供了一个观察坐标系，但没有一般性解决长距通信。
5. 稀疏系统的客观下限
假设每个节点一轮只能与固定数量
$k$的邻居通信。经过
$t$轮，它最多影响大约
$k^t$个节点。要覆盖长度为
$N$的空间，至少需要：
$
$ t=\Omega(\log_k N) $$
因此，在不使用全连接的前提下，不能要求任意两个节点都一跳相遇。真正合理的目标是：
用
$O(\log N)$轮局部计算建立全局感受野，并避免所有信息同时挤入一个 root。
6. XOR Butterfly：利用二进制地址
长度 8 时，leaf 地址可以写成：
0 = 000
1 = 001
2 = 010
3 = 011
4 = 100
5 = 101
6 = 110
7 = 111
第
$s$轮，让节点
$i$与下面的地址通信：
$
$ partner_s(i)=i\operatorname{XOR}2^s $$
三轮分别是：
第 0 轮：(0,1) (2,3) (4,5) (6,7)
第 1 轮：(0,2) (1,3) (4,6) (5,7)
第 2 轮：(0,4) (1,5) (2,6) (3,7)
位置 7 的信息可以沿地址位传播：
111 -> 110 -> 100 -> 000
三轮后到达位置 0。一般情况下，任意两个
$D$位地址最多相差
$D=\log_2N$个 bit。
这不是循环，也没有制造假的句首句尾关系。它是在逐位打开二进制地址空间。
7. 每一轮仍然只是二节点 kernel
最小的确定性 kernel 可以写成：
$
$ c=\frac{a+b}{\sqrt{2}} $$
$
$ d=\frac{a-b}{\sqrt{2}} $$
它可以精确逆运算：
$
$ a=\frac{c+d}{\sqrt{2}},\qquad b=\frac{c-d}{\sqrt{2}} $$
并保持总能量：
$$ \lVert a\rVert^2+\lVert b\rVert^2
\lVert c\rVert^2+\lVert d\rVert^2 $$
因此，在纯线性合同中，它不会自然放大或缩小 norm。它也是正交变换，反向梯度拥有相同的范数保持性质。
学习版本仍然只在一对节点中计算，不建立全局注意力矩阵。
8. 它与普通二叉 FOLD 有什么不同
普通 FOLD 不断缩小宽度：
8 -> 4 -> 2 -> 1
所有远程信息最后汇入一个 root。
Butterfly 保持固定宽度：
8 -> 8 -> 8 -> 8
但每轮扩大每个位置的感受野：
第 0 轮后：2 个地址
第 1 轮后：4 个地址
第 2 轮后：8 个地址
它不是新的外部内存，也不允许树无限生长。系统给定多少 leaf，就始终只使用多少 leaf。
推荐组合为：
token leaves
↓
XOR Butterfly 局部通信
↓
带长距上下文的 leaves
↓
TreeHeap FOLD
↓
root + details
↓
TreeHeap UNFOLD
↓
对应的 Butterfly decoder
↓
leaf softmax
9. 这会不会又变成 flat
Butterfly 每轮只有
$N/2$次二节点操作，总操作数为：
$
$ \frac{N}{2}\log_2N $$
它没有构造
$N\times N$的 token 对矩阵。
| 结构 | 关系计算规模 | 任意节点通信距离 |
|---|---|---|
| Dense attention | $O(N^2)$ | 1 |
| 单棵相邻二叉树 | $O(N)$ | 最坏约 $2\log_2N$，经过 root |
| XOR Butterfly | $O(N\log N)$ | 最坏 $\log_2N$，无单 root 汇聚 |
它比单树付出更多计算，但仍比 dense attention 稀疏。是否值得，要由实验决定。
10. 本轮 Claim
S3-TREEHEAP-BUTTERFLY-LONGRANGE-C01
固定容量的 XOR Butterfly，如果由局部二节点 kernel 组成，应当能够：
- 在 $\log_2N$轮内建立所有地址之间的感受野；
- 保持确定性正交合同的可逆性、能量与梯度尺度；
- 在地址条件长距读取任务中，击败相同深度但始终只看邻接对的 kernel；
- 击败把所有输入压入一个有限 root 再并行读出的 bottleneck；
- 不构造 dense $N\times N$attention。
这个 Claim 不包含语言理解，也不包含 Transformer 性能对比。
11. 归纳实验是什么
随机生成长度 32 的 token array，并给模型一个地址查询
$q$。输出位置
$i$的目标是：
$
$ target[i]=source[i\operatorname{XOR}q] $$
训练只使用二进制中含一个或两个 1 的查询。测试使用从未见过的三位及以上组合，包括：
q = 31 = 11111
然后不重新训练，把同一个共享 kernel 放到长度 64：
q = 63 = 111111
这在测试模型是否学会了“逐个地址 bit 执行局部交换”的组合规则，而不是记住完整地址。
12. 三个对照组
| 方案 | 做什么 |
|---|---|
| Butterfly | 每轮切换一个 XOR 地址 bit |
| Adjacent-only | 每轮都重复相邻配对 |
| Root bottleneck | 递归压到一个有限 root，再预测所有位置 |
三组使用相同随机 token、交叉熵、训练步数和测试查询。参数量与运行时间也会记录。
13. 预注册通过线
确定性合同必须全部通过：
inverse MSE <= 1e-10
energy relative error <= 1e-6
最终地址覆盖率 = 100%
gradient norm ratio 位于 [0.999, 1.001]
三颗随机种子中至少两颗还要同时满足：
width-32 未见查询准确率 >= 95%
最大距离查询准确率 >= 90%
width-64 未见宽度准确率 >= 90%
比 adjacent-only 高至少 25 个百分点
比 root-bottleneck 高至少 25 个百分点
如果数学合同通过、训练实验失败，只能保留“Butterfly 是合法代数工具”，不能说它是有效学习机制。
14. 即使成功，也还没有证明什么
通过本轮实验仍然不能说明：
- XOR 地址符合语言依存结构；
- WMT 翻译会改善；
- TreeHeap 已形成语义私有协议；
- Butterfly 比成熟 Transformer 更快；
- 合成地址搬运等于推理。
下一步只有在本轮结果成立后，才把 Butterfly 插入冻结的 WMT TreeHeap，用 matched ablation 比较：
原 TreeHeap
vs
原 TreeHeap + Butterfly
15. 正式实验结果
预注册完成后，实验在 io 的 CUDA 环境通过 taskd 任务 78 执行。三颗随机种子，每个方案训练 1,200 步，总用时 82.2 秒。
15.1 数学合同
| 宽度 | 深度 | 逆运算 MSE | 能量相对误差 | 梯度 norm 比 | 地址覆盖率 | 局部 pair 次数 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 8 | 3 | 1.57e-14 |
0 |
0.99999994 |
100% |
12 |
| 16 | 4 | 2.61e-14 |
0 |
0.99999988 |
100% |
32 |
| 32 | 5 | 3.88e-14 |
1.21e-7 |
0.99999994 |
100% |
80 |
| 64 | 6 | 5.37e-14 |
2.35e-7 |
0.99999988 |
100% |
192 |
可逆、能量、梯度和覆盖率四组合同全部通过。宽度 64 时，Butterfly 只执行 192 次二节点运算；如果构造完整地址矩阵，则有 4,096 个地址对。
15.2 学习结果
三颗 seed 的平均 token 准确率：
| 方案 | 32 位未见组合 | 32 位最大距离 | 64 位未见宽度 | 参数量 |
|---|---|---|---|---|
| XOR Butterfly | 100.000% |
99.998% |
99.998% |
4,226 |
| Adjacent-only | 1.573% |
1.557% |
1.565% |
4,226 |
| Root bottleneck | 5.039% |
5.058% |
2.078% |
46,464 |
词表大小为 64，随机猜测准确率约为
$1/64=1.5625\%$。所以 adjacent-only 基本停留在随机水平。Root bottleneck 使用约 11 倍参数，在训练宽度上学到少量统计，但没有保存每个随机 token 的地址身份；外推到宽度 64 后下降到 2.078%。
Butterfly 在训练中只见过一位和两位地址变化，却组合出了未见的三位以上变化，并直接扩展到多一层的 64 位空间。三颗 seed 的查询 bit 交换概率差为 0.6282/0.6273/0.6274，说明模型学到的是局部 bit 规则，而不是一张固定置换表。
但查询的二进制分解是明确的架构先验。实验没有证明模型能从自然语言中自己发现 XOR，也没有证明这种地址布局就是语言结构。
15.3 当前结论
本轮 Claim 在预注册范围内得到支持：固定容量的 TreeHeap 地址可以通过 XOR Butterfly，在不构造 dense attention 的情况下，以对数轮次完成可逆、梯度稳定的长距通信；这个局部协议可以由交叉熵训练，并组合到未见查询和更大宽度。
下一步是 matched WMT ablation，而不是继续增加合成 toy。只有真实文本 NLL、source 因果干预和生成质量同时改善，才能说它解决了 TreeHeap 的语言长距问题。
原创与开放说明： 本文把 XOR/Butterfly 稀疏通信与 SameTime 的固定容量 TreeHeap 地址、FOLD/UNFOLD 和私有协议问题组合为一条可证伪研究路线。相关 Claim、代码和 evidence 以 GPLv3 在 SameTime/ARA 中公开。Butterfly、Walsh-Hadamard 变换及 XOR 网络本身属于已有数学与计算结构，本文不主张发明这些基础对象。