C05：TreeHeap 不能只是披着树皮的 MLP
上一篇 SPR-020 说清楚了一件事：
Soft Plus 的梯度管道已经通了。
但 clean kernel 是否能自己学会路由，还没有证明。
然后 Houming818 提了一个更深的问题：
如果公式里没有地址、路径、子结构，
那它看起来还是一个 MLP 或线性内存，
只是外面贴了 TreeHeap 这个名字。
这个批评是对的。
所以 C05 不能只问：
kernel-guided soft plus 能不能训练？
它必须先问：
这个 kernel 到底有没有用到 TreeHeap 的结构？
Flat MLP 的自然形式
线性回归是：
$$ \hat y = Wx + b $$MLP 是：
$$ \hat y = f_\theta(x) $$这类模型的核心是：
把输入 x 映射到一个任务空间；
再通过距离、logit、argmax 得到输出。
这没有问题。
但它是 flat 的。
它没有天然的：
地址；
路径；
前缀；
子堆；
递归更新。
如果 TreeHeap 公式只是：
$$ H_{t+1}
\sum_a p(a \mid H_t,x_t)\operatorname{Plus}_a(H_t,x_t) $$
那还不够。
因为这里的 (a) 可能只是普通数组槽位：
a = 0, 1, 2, 3, ...
这会退化成：
softmax memory write
也就是一个 flat memory MLP。
TreeHeap 的地址必须是路径
TreeHeap 里的地址不应该只是数字。
它应该是路径：
$$ a \in \{L,R\}^{*} $$例如：
epsilon = root
L = root -> left
R = root -> right
LLR = root -> left -> left -> right
这个路径空间有一个 flat index 没有的性质：
前缀关系。
例如：
L 是 LL 和 LR 的共同前缀；
LL 和 LR 比 LL 和 RR 更接近；
LLR 的父路径是 LL。
这就是结构。
所以 TreeHeap 的 kernel 不能只看：
address_id
而应该看：
$$ K_\theta(\pi(a), \operatorname{subheap}(H,a), x) $$其中：
pi(a)
路径表示
subheap(H,a)
以地址 a 为 root 的局部子堆
x
当前输入或查询
Plus 也必须是递归的
如果 Plus_a 只是：
arr[a] = x
那它仍然是数组写入。
TreeHeap 的 plus 应该沿路径递归。
如果目标地址是：
a = d :: a'
其中 (d) 是第一步方向：
d in {L, R}
那么递归 plus 应该是：
$$ \operatorname{Plus}^{tree}_{d::a’}(H,x)
\operatorname{rebuild} ( root(H), \operatorname{Plus}^{tree}{a’}(child_d(H),x), child{\bar d}(H) ) $$
终止条件是：
$$ \operatorname{Plus}^{tree}_{\epsilon}(H,x)
\operatorname{merge}(H,x) $$
白话说：
如果目标在 left 子树，
就递归更新 left 子树；
right 子树保持不变；
最后把 root、left、right 重新组装。
这才是结构化内存。
C05 的新公式
所以 C05 的候选公式应该写成：
$$ H_{t+1}
\sum_{a \in A(H_t)} \operatorname{softmax}a \left( K\theta(\pi(a), \operatorname{subheap}(H_t,a), x_t) \right) \cdot \operatorname{Plus}^{tree}_{\phi,a}(H_t,x_t) $$
这个式子里必须有三件东西：
pi(a) 路径
subheap(H_t,a) 子堆
Plus^{tree}_{a} 递归 plus
少了这些，C05 就不应该升级。
实验怎么 proof
我们设计一个很小的 toy。
生成一棵二叉树，在某个地址插入一个局部 pattern：
pattern = (root_value, left_value, right_value)
例如：
0.90
/ \
-0.40 0.70
任务是：
给定整棵树和 pattern，
找出 pattern 在哪个地址。
训练时只把 pattern 放在浅层：
depth = 2, 3
测试时把 pattern 放到深层：
depth = 5, 6
如果模型只是记地址，它应该失败。
如果模型真的看子堆，它应该能迁移。
四个模型
我们比较四个版本。
C0：flat address
只看绝对地址编号。
这个位置是 0 号、1 号、2 号……
它没有路径，也没有子堆。
预期：
训练内可能记住；
未见深度会失败。
C1：path only
看路径：
L, R, LL, LR, ...
但不看节点内容。
预期：
如果目标 pattern 随机出现在不同地址，
path only 也无法知道哪个子堆匹配。
C2：subheap kernel
看局部子堆：
candidate_root
candidate_left
candidate_right
并和 query pattern 比较。
预期：
即使 pattern 移到深层，也能找到。
C3：path + subheap kernel
同时看：
路径
子堆
并能返回：
目标地址路径
这个版本最接近 TreeHeap C05。
判定标准
如果结果是：
C0 / C1 在深层失败；
C2 / C3 在深层成功；
说明：
subheap kernel 真的提供了迁移能力。
如果 C3 还能返回合法路径：
root -> left -> right -> ...
说明：
它不仅找到了目标，还能进入 recursive plus。
这才是 TreeHeap 的味道。
实验结果
实验已经执行：
src/structural_c05_probe.py
证据目录：
ara/m0-treeheap-math/evidence/structural_c05_probe/
结果表：
| Variant | Train acc | Test acc | Hit@3 | Mean rank |
|---|---|---|---|---|
| flat_address | 0.439 | 0.000 | 0.000 | 16.09 |
| path_only | 0.439 | 0.000 | 0.000 | 35.44 |
| subheap_kernel | 1.000 | 1.000 | 1.000 | 1.00 |
| path_subheap_kernel | 1.000 | 1.000 | 1.000 | 1.00 |
这个结果很清楚。
flat_address 在训练集还有一点记忆能力：
train_acc = 0.439
但到未见深度以后：
test_acc = 0.000
说明它没有学到可迁移结构，只是在浅层地址上做记忆。
path_only 也失败：
test_acc = 0.000
这说明只知道路径形式还不够。因为目标 pattern 是随机放到某个深层子堆里的，只看：
LLR
RRLL
LRRL
无法知道哪个位置真的匹配 pattern。
真正成功的是：
subheap_kernel
path_subheap_kernel
它们在未见深度上都是：
test_acc = 1.000
mean_rank = 1.00
也就是说，同一个局部子堆 kernel 可以在更深地址复用。
这证明了什么
这次 proof 支持的是：
M0-SOFT-C07:
TreeHeap kernel 必须暴露 path / subheap / recursive route 结构，
否则会退化成 flat soft memory。
更具体地说：
subheap 是有效结构信号；
flat address 不是；
path alone 也不是。
这回应了前面那个批评：
如果公式里没有地址、路径、子结构，
它就不像 TreeHeap。
现在实验告诉我们：
至少在这个 toy 上，
子堆结构不是装饰；
它直接决定了未见深度迁移是否成立。
这没有证明什么
这个实验仍然很窄。
它没有证明：
TreeHeap 会语言；
TreeHeap 会 WMT；
TreeHeap 已经优于 Transformer；
C05 的完整写入机制已经胜出。
为什么还不能升级完整 C05？
因为完整 C05 问的是：
kernel-guided Soft Plus
是否优于 naive soft memory write
和 generic encoder soft plus？
而本实验只证明：
结构特征是必要的；
subheap kernel 能做未见深度 relocation。
所以结论是：
M0-SOFT-C07 -> supported pilot
M0-SOFT-C05 -> 仍然 open
下一步才是完整写入机制对比：
A: naive soft memory write
B: encoder soft plus
C: path + subheap kernel-guided soft plus
License: GPLv3