梯度不只改参数：TreeHeap 的状态松弛 proof
SPR-037 里，我们讨论了“可控流形”。
当时的实验是：
手动调整 relation_weight / order_weight
观察 fold 质量是否从乱态变好
这个 proof 通过了。
但是你马上指出了一个更深的问题：
既然是流形，肯定要考虑梯度信息如何产生。
不然怎么学习？
然后你提出了一个很关键的想法：
梯度不一定只是改参数。
它也可能调整 heap 的平衡性。
这篇 SPR-038 就是直接跑这个 proof。
先说结论
这次 proof 支持一个窄 claim：
TreeHeap 可以存在 heap state gradient。
也就是说：
不更新 kernel 参数 theta，
只更新当前 heap state H，
也可以让 heap 沿能量下降方向进入更低能量状态。
实验结果：
| 指标 | 数值 |
|---|---|
| scalar energy ratio | 2.47e-31 |
| scalar left delta | +1.0000 |
| scalar right delta | -1.0000 |
| mean vector energy ratio | 1.24e-13 |
| max vector energy ratio | 3.69e-13 |
| mean centroid error drop | 3.0393 |
| pass rate | 1.0000 |
| pilot pass | true |
这个结果说明：
状态梯度这条机制是成立的。
但它还不说明：
TreeHeap 已经理解语言
TreeHeap 已经能翻译
状态松弛已经能自动学世界模型
这次只是机制 proof。
Houming818 的假设
这次 proof 的核心假设来自 Houming818：
梯度信息可能不是简单的参数变更，
而是一种 heap 平衡性调整。
你给的例子是：
[2.0, 1.0, 3.0]
如果梯度来了，它不一定是去修改某个外部参数。
它可能直接调整当前 heap：
[2.0, 1.0, 3.0]
-> [2.0, 1.5, 2.5]
-> [2.0, 1.8, 2.2]
这个过程不是：
改函数
而是：
调状态
这很像物理里的系统松弛：
当前状态能量高，
于是系统沿能量下降方向移动。
两种学习路径
普通神经网络更常见的是参数梯度：
theta <- theta - eta * grad_theta L
也就是：
函数参数变了。
TreeHeap 可以有另一条路径：
H <- H - eta * grad_H E(H)
这里：
H = 当前 TreeHeap state
E(H) = 当前 heap 的能量
也就是说：
函数不变。
地址规则不变。
kernel 系数不变。
只有 arr[i] 的状态在移动。
这就是 heap state relaxation。
为什么这有意义
之前我们经常问：
目标 heap 怎么可导？
但这个思路把问题换了一下：
目标 heap 不一定要可导。
当前 heap 的能量函数可导就行。
例如我们可以定义：
E_balance(H) 左右是否平衡
E_parent_child(H) 父子是否一致
E_relation(H, W) heap 是否贴合关系场
E_entropy(P) 概率容器是否过早坍缩
总能量：
E_total(H)
= E_balance(H)
+ E_parent_child(H)
+ E_relation(H, W)
+ E_entropy(P)
然后做：
H <- H - eta * grad_H E_total(H)
这样，梯度来自当前状态的能量。
不是来自一个必须可导的目标树。
Proof 1：最小 scalar heap
第一个 proof 就是你给的例子的数学化。
初始状态：
root = 2.0
left = 1.0
right = 3.0
能量函数：
E = (left - right)^2
+ (root - (left + right) / 2)^2
第一项要求：
left 和 right 平衡
第二项要求：
root 接近左右孩子的平均值
训练时：
不更新 theta
只更新 root / left / right
结果：
initial: [2.0, 1.0, 3.0], energy = 4.0
final: [2.0, 2.0, 2.0], energy = 9.86e-31
也就是说：
left 增加了 1.0
right 减少了 1.0
这正好对应你说的：
[2.0, 1.0, 3.0]
-> [2.0, 1.5, 2.5]
-> [2.0, 2.0, 2.0]
Proof 2：7 节点 vector TreeHeap
第二个 proof 稍微更像 TreeHeap。
结构是：
1
/ \
2 3
/ \ / \
4 5 6 7
其中：
4,5,6,7 是固定叶子向量
1,2,3 是可更新的 internal heap state
注意：
叶子不动
kernel 参数不动
地址规则不动
只更新 arr[1], arr[2], arr[3]
能量有两部分。
第一部分是父子一致性：
arr[parent] 应该接近 mean(left_child, right_child)
第二部分是关系锚点一致性：
arr[node] 应该接近固定 relation anchor
这两个东西组成当前 heap 的能量。
然后只对 arr[i] 做梯度下降。
vector proof 结果
随机初始化 32 次。
结果：
mean_vector_energy_ratio = 1.24e-13
max_vector_energy_ratio = 3.69e-13
mean_centroid_error_drop = 3.0393
pass_rate = 1.0
这说明：
所有 32 次随机初始化都收敛了。
其中一次 trace：
energy: 52.88 -> 37.70 -> 27.48 -> 11.88 -> 3.72 -> 0.20 -> 0.0022 -> 7.19e-12
centroid_error: 3.3872 -> 2.9325 -> 2.5580 -> 1.7572 -> 1.0210 -> 0.2565 -> 0.0278 -> 0.0000016
这就是很典型的状态松弛曲线。
这次 claim
这次 claim 是：
S1-RELAX-C01:
A differentiable energy over the current TreeHeap state can generate gradients
that relax arr[i] toward a lower-energy equilibrium while kernel parameters
and address rules remain fixed.
状态：
supported pilot
它证明的是：
TreeHeap 不只有参数梯度路径。
它也可以有状态梯度路径。
也就是：
改函数是一种学习。
调 heap 状态也是一种学习。
这没有证明什么
它没有证明：
翻译
语言理解
无监督世界模型
真实 relation field
TreeHeap 胜过 Transformer
它也没有证明：
所有语言目标都能写成漂亮的能量函数。
所以这次不能夸大。
它只是证明：
只要能定义当前 heap 的可导能量，
梯度就可以直接作用在 heap state 上。
对路线的影响
这个结果很重要。
之前我们大致有：
kernel 参数学习
现在多了一条：
heap state relaxation
于是 TreeHeap 的学习可以分成：
1. 学 kernel
让算子更会写、读、合并、坍缩
2. 调 H
让当前 heap 自己进入低能量结构
这比普通“把所有东西都塞进参数矩阵”更有 TreeHeap 自己的味道。
更像：
kernel 定义力场
heap state 在力场里松弛
probability container 决定何时坍缩
下一步
下一步不能只停留在平衡 toy。
应该把三件事接起来：
真实或弱真实 relation field
heap state relaxation
stop / left / right 概率坍缩
最小实验可以是：
输入真实短句
构造弱 relation field
初始化一个 noisy TreeHeap
只用 energy relaxation 调 arr[i]
再用 read kernel 查询 block
看 block F1 是否提升
如果这个通过，就说明：
状态松弛不仅能平衡数值，
还能帮助真实短句结构变稳定。
那时候，TreeHeap 的可控流形就不只是手动调参地图，而更像一个可学习动力系统。
一句话总结
SPR-038 的结论是：
梯度不一定只改参数。
TreeHeap 的 arr[i] 本身也可以被梯度推动，
沿当前能量函数进入更稳定的结构状态。
这条路还很早。
但它给 TreeHeap 增加了一个重要可能：
不是只学习函数，
而是让结构自己松弛。
ARA: heap-state relaxation / claims / experiment script / evidence