TreeHeap 差分代数：从 Zero 到距离，再到学习
上一篇 SPR-026 做了一个浅层 S1 proof：
真实短句
-> soft TreeHeap write
-> root / subject / object slot
-> query
但 Houming818 指出了一个更底层的问题：
两个 TreeHeap 结构如何计算距离？
我一开始直接回答“可以算节点距离、路径加权距离、子堆距离”。
这个回答不算错，但跳了一步。
真正第一性的问题是：
TreeHeap 的差分怎么定义？
因为距离不是第一定义。
距离应该来自：
差分
↓
范数
↓
距离
就像实数一样：
|x-y|
这里真正先发生的是：
x-y
再取绝对值。
向量也是一样：
||a-b||
先有：
a-b
再有范数。
TreeHeap 也应该这样。
为什么差分比距离更基础？
机器学习不是只需要“两个东西远不远”。
机器学习还需要知道：
如果我把参数改一点，
loss 会怎么变？
也就是：
差分 / 微分 / 梯度
如果 TreeHeap 只有一个距离函数：
Distance(A,B)
但没有：
Diff(A,B)
那它很难接上学习。
因为学习要做的是：
Δloss / Δparameter
所以我们需要先定义：
Zero
Subtraction
Norm
Inner Product
Cosine
Finite Difference
这就是本篇的主题。
Zero TreeHeap
先定义零 TreeHeap：
Zero[i] = 0 ∈ R^128
也就是每个节点都是 128D 零向量。
如果一个 TreeHeap 是：
H
那么它的大小不是凭空来的，而是：
H - Zero
再取范数。
这和实数一致：
|x| = |x - 0|
TreeHeap 差分
假设两个 TreeHeap 的地址空间一样：
A[i] ∈ R^128
B[i] ∈ R^128
那么差分定义为：
Diff(A,B)[i] = A[i] - B[i]
注意：
Diff(A,B)
仍然是一个 TreeHeap-shaped object。
只是每个节点存的是：
向量差
而不是原始向量。
这点很关键。
我们不是把 TreeHeap 压扁成一个 scalar。
我们先保留结构差异。
TreeHeap 范数
TreeHeap 不是普通 flat vector。
节点有深度：
root depth = 0
left/right depth = 1
deeper nodes depth = 2,3,...
所以第一版范数加入深度权重：
$$ \lVert H\rVert_T = \sqrt{\sum_i \alpha^{depth(i)} \lVert H[i]\rVert_2^2} $$其中：
0 < alpha < 1
这表示：
越靠近 root，权重越大。
越深的节点，权重越小。
这不是最终答案，但它是一个合理的第一版。
TreeHeap 距离
有了差分和范数，距离自然定义为：
$$ d(A,B) = \lVert A-B\rVert_T $$也就是：
先差分
再取 TreeHeap 范数
这比直接写一个 distance(A,B) 更干净。
因为它和学习、微分、梯度可以接上。
TreeHeap 内积和 cosine
同样，cosine 也不应该是随便把节点平均后再算。
先定义 TreeHeap 内积：
$$ \langle A,B\rangle_T = \sum_i \alpha^{depth(i)} \langle A[i],B[i]\rangle $$然后定义 TreeHeap cosine：
$$ \cos_T(A,B)=\frac{\langle A,B\rangle_T}{\lVert A\rVert_T\lVert B\rVert_T} $$这样 cosine 也是从 TreeHeap 代数结构来的。
不是临时拼出来的。
有限差分
现在进入学习。
如果：
L(H)
是一个 loss，我们想知道沿着方向：
U
改变 TreeHeap 时，loss 怎么变。
有限差分可以写成：
$$ \frac{L(H+\epsilon U)-L(H-\epsilon U)}{2\epsilon} $$如果 TreeHeap 差分代数正确，这个数应该和解析方向导数对上。
对一个简单的加权 MSE：
$$ L(H)=\frac{1}{2}\lVert H-Target\rVert_T^2 $$方向导数应该是：
$$ \langle H-Target, U\rangle_T $$这就是实验要检查的第一件事。
prob vector plus 的学习信号
我们还要检查它能不能接上写入学习。
定义一个最小 prob vector plus：
H'[i] = H[i] + p_i · x
其中：
x ∈ R^128
p = softmax(theta)
这表示：
把一个 128D token/world vector
按概率写入 TreeHeap 节点。
目标 TreeHeap 是：
Target[target_node] = x
其他节点 = 0
loss：
$$ L=\frac{1}{2}\lVert H'-Target\rVert_T^2 $$如果差分代数能支持学习，那么：
有限差分算出来的 dL/dtheta
应该接近：
解析梯度算出来的 dL/dtheta
并且做一步梯度下降后：
loss 应该下降
target_node 的写入概率应该上升
实验脚本
脚本：
ara/m0-treeheap-math/src/treeheap_diff_algebra_probe.py
执行主机：
io.grepcode.cn
证据：
ara/m0-treeheap-math/evidence/treeheap_diff_algebra_probe/
参数：
nodes = 15
dim = 128
alpha = 0.72
eps = 1e-5
实验结果
| Metric | Value |
|---|---|
norm_zero |
0.000000 |
dist_aa |
0.000000 |
dist_ab |
8.779953 |
dist_ba |
8.779953 |
cos_aa |
1.000000 |
anti_sym_error |
0.000000 |
directional_derivative_abs_error |
3.48e-10 |
theta_grad_abs_error |
4.21e-10 |
theta_grad_rel_error |
2.10e-10 |
initial_loss |
29.138441 |
stepped_loss |
0.000660 |
target_prob_before |
0.064808 |
target_prob_after |
0.995534 |
这些结果说明：
Zero 范数为 0。
自己到自己的距离为 0。
距离对称。
cos(A,A)=1。
Diff(A,B)=-Diff(B,A)。
TreeHeap 状态有限差分和解析方向导数一致。
prob vector plus 的 theta 梯度和有限差分一致。
一步梯度下降能显著降低 loss。
写入概率会从错误的扩散状态坍缩到目标节点。
这次证明了什么？
这次支持：
M0-DIFF-C01 -> supported pilot
也就是：
TreeHeap 可以先定义差分代数，
再由差分推出距离、cosine、loss 和有限差分学习信号。
这件事很重要。
因为 S1 的 prob vector write 需要的不只是：
我能把 token 写进去。
还需要：
写错了，loss 怎么变？
参数该往哪边改？
这就是差分代数给出的东西。
这次没有证明什么？
边界也要清楚。
这次没有证明：
TreeHeap 已经学会语言。
TreeHeap 已经有世界模型坐标系。
prob vector plus 已经是最终 encoder。
TreeHeap 比 MLP / Transformer 强。
TreeHeap 能做 WMT。
它证明的是更底层的事：
TreeHeap 有可用于学习的差分/距离/梯度评价框架。
对 S1 的意义
现在我们可以把 S1 的写入问题说得更精确。
不再只是：
把 token 写到 TreeHeap。
而是：
从 Zero TreeHeap 出发，
用 prob vector plus 写入 128D token/world vector，
用 TreeHeap diff distance 评价写入结果，
再用有限差分/梯度更新写入 kernel。
这条链是：
Zero
-> Prob Vector Plus
-> TreeHeap state
-> Diff to Target
-> Norm / Loss
-> Finite Difference / Gradient
-> Update Kernel
这才是 M0 工具箱进入 S1 的真正接口。
下一步
下一步不是再问：
距离怎么算？
而是问：
Target 从哪里来？
也就是我们前面说的世界模型坐标系。
例如：
foot + ball -> football
hand + ball -> handball
rain + coat -> raincoat
book + shelf -> bookshelf
我们需要这样的数据，告诉 TreeHeap：
什么样的写入结果是对的？
什么样的组合关系应该在空间里接近？
没有世界模型坐标系，TreeHeap 只能学 echo。
有了世界模型坐标系，TreeHeap 才能学语义拓扑。
总结
这篇的核心结论是：
TreeHeap 距离不是第一定义。
TreeHeap 差分才是第一定义。
从差分出发，我们得到了：
Zero
Subtraction
Norm
Inner Product
Cosine
Finite Difference
Gradient Signal
这让 TreeHeap 不再只是一个“树形存储结构”。
它开始具备进入梯度学习的数学接口。