TreeHeap kernel 的共轭翻转：mirror 后 kernel 也要翻
SPR-039 证明了一个最小事实：
参数 TreeHeap Theta 可以通过梯度学会局部 subheap 卷积核。
当时的 kernel 是最简单的：
[root, left, right] = [1, 1, 1]
这个确实有用，但也有一个问题：
它太像普通求和了。
Houming818 问了一个更关键的问题：
如果 TreeHeap 真的有结构卷积，
能不能证明共轭对称翻转？
也就是说：
树 mirror 以后，
kernel 是不是也应该 mirror？
这篇 SPR-040 就是这个 proof。
什么是 mirror
还是这棵 7 节点 TreeHeap：
1
/ \
2 3
/ \ / \
4 5 6 7
mirror 操作 M 是左右对称翻转：
M(1) = 1
M(2) = 3
M(3) = 2
M(4) = 7
M(5) = 6
M(6) = 5
M(7) = 4
所以：
H = [1,2,3,4,5,6,7]
M(H) = [1,3,2,7,6,5,4]
这不是随机打乱。
它是保持树结构的左右镜像。
什么是 kernel 共轭
局部 kernel 写成：
theta = [theta_root, theta_left, theta_right]
如果树左右翻转，那么 left 和 right 的意义也交换。
所以共轭 kernel 应该是：
conj(theta) = [theta_root, theta_right, theta_left]
例如这次实验用的是非对称 kernel：
theta = [0.5, 1.25, -0.75]
它的共轭翻转是：
conj(theta) = [0.5, -0.75, 1.25]
注意这里 left/right 不一样。
如果 left/right 本来相等，比如 [1,1,1]，那翻不翻都一样，证明就没有力量。
所以这次必须用非对称 kernel。
要证明的等式
TreeHeap 局部卷积：
K_theta(H)[i]
= theta_root * H[i]
+ theta_left * H[left(i)]
+ theta_right * H[right(i)]
我们要证明：
M(K_theta(H)) = K_conj(theta)(M(H))
中文说就是：
先卷积再翻转
等于
先翻转树，再用翻转后的 kernel 卷积
这就是共轭对称。
一个具体例子
输入：
H = [1,2,3,4,5,6,7]
theta = [0.5, 1.25, -0.75]
对 root 节点：
K_theta(H)[1]
= 0.5*1 + 1.25*2 - 0.75*3
= 0.75
对 node 2：
K_theta(H)[2]
= 0.5*2 + 1.25*4 - 0.75*5
= 2.25
对 node 3：
K_theta(H)[3]
= 0.5*3 + 1.25*6 - 0.75*7
= 3.75
所以卷积后内部节点是：
[0.75, 2.25, 3.75]
再 mirror，node 2 和 node 3 会交换。
如果我们先 mirror 输入：
M(H) = [1,3,2,7,6,5,4]
再用共轭 kernel：
conj(theta) = [0.5, -0.75, 1.25]
得到的结果应该完全对应。
这就是实验要测的东西。
实验一：演绎等式检查
第一部分不是训练。
它直接检查：
M(K_theta(H)) == K_conj(theta)(M(H))
在随机 test / OOD heaps 上测误差。
结果：
| 指标 | 数值 |
|---|---|
| flipped-kernel test max error | 8.88e-16 |
| flipped-kernel OOD max error | 3.55e-15 |
| unflipped-kernel mean error | 6.4372 |
解释：
用 conj(theta) 时，误差是机器精度。
不用 conj(theta) 时，误差很大。
这说明共轭翻转不是平凡成立的。
它依赖：
树 mirror
kernel left/right 也 mirror
实验二：从 mirrored data 学回共轭 kernel
第二部分是学习。
训练数据是 mirrored data。
目标是让模型从数据中学出：
conj(theta) = [0.5, -0.75, 1.25]
结果：
| 指标 | 数值 |
|---|---|
| learned mirrored theta | [0.5000000000000002, -0.7499999999999998, 1.2499999999999996] |
| theta-conj L2 error | 5.44e-16 |
| learned test MSE | 1.01e-30 |
| learned OOD MSE | 9.76e-30 |
这说明：
不只是手写公式成立。
参数 Theta 也能从 mirrored data 学回共轭 kernel。
Claim 状态
S1-KERNEL-CONJ-C01:
TreeHeap local convolution is equivariant under mirror conjugation:
M(K_theta(H)) = K_conj(theta)(M(H)).
status: supported pilot
证据目录：
ara/s1-echo/evidence/s1_conjugate_kernel_symmetry_probe/
脚本：
ara/s1-echo/src/s1_conjugate_kernel_symmetry_probe.py
这说明了什么
SPR-039 证明：
TreeHeap kernel 可以学会局部卷积。
SPR-040 继续证明：
TreeHeap kernel 不只是简单平移求和。
它还可以服从结构变换下的共轭规律。
这很重要。
因为如果 TreeHeap 只是一个数组，那么 mirror 只是重排。
但如果 TreeHeap 是结构化空间，那么 mirror 应该要求：
数据结构变换
算子也随之变换
这就是共轭。
还没有证明什么
这次没有证明：
语言理解
WMT 翻译
任意群等变
真实语义镜像
TreeHeap 胜过所有 flat model
它只证明一个局部代数事实：
TreeHeap 的 root/left/right kernel
在 mirror 操作下有正确的共轭形式。
下一步
下一步可以扩展：
1. scalar kernel -> vector / matrix kernel
2. depth-2 tree -> deeper recursive TreeHeap
3. mirror conjugation -> rotate / path permutation / slot conjugation
4. single kernel -> multi-kernel bank 的对称变换
如果这些继续成立，TreeHeap 的 kernel 就不只是“能算”。
它会开始接近一个结构化算子系统：
结构变换
算子共轭
参数学习
局部卷积
一句话总结
SPR-040 的结论是：
TreeHeap 局部卷积满足 mirror conjugation：
树翻转时，kernel 的 left/right 权重也必须翻转；
这个共轭 kernel 既能手算成立，也能从 mirrored data 中学出来。
ARA: conjugate kernel symmetry / evidence / claims